Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 4 - x & - 2 & 0 \\ - 3 & 7 - x & 0 \\ 5 & 7 & 3 - x \end{array}]$

Schritt 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $3$ by its cofactor and add.

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Schritt 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 1.3

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & 7 - x \\ 5 & 7 \end{array} |$

Schritt 1.4

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 3 & 7 - x \\ 5 & 7 \end{array} |$

Schritt 1.5

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 - x & - 2 \\ 5 & 7 \end{array} |$

Schritt 1.6

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 4 - x & - 2 \\ 5 & 7 \end{array} |$

Schritt 1.7

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 - x & - 2 \\ - 3 & 7 - x \end{array} |$

Schritt 1.8

Multiply element $a_{33}$ by its cofactor.

$(3 - x) | \begin{array}{c} 4 - x & - 2 \\ - 3 & 7 - x \end{array} |$

Schritt 1.9

Add the terms together.

$0 | \begin{array}{c} - 3 & 7 - x \\ 5 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 4 - x & - 2 \\ 5 & 7 \end{array} | + (3 - x) | \begin{array}{c} 4 - x & - 2 \\ - 3 & 7 - x \end{array} |$

Schritt 2

Mutltipliziere $0$ mit $| \begin{array}{c} - 3 & 7 - x \\ 5 & 7 \end{array} |$ .

$0 + 0 | \begin{array}{c} 4 - x & - 2 \\ 5 & 7 \end{array} | + (3 - x) | \begin{array}{c} 4 - x & - 2 \\ - 3 & 7 - x \end{array} |$

Schritt 3

Mutltipliziere $0$ mit $| \begin{array}{c} 4 - x & - 2 \\ 5 & 7 \end{array} |$ .

$0 + 0 + (3 - x) | \begin{array}{c} 4 - x & - 2 \\ - 3 & 7 - x \end{array} |$

Schritt 4

Berechne $| \begin{array}{c} 4 - x & - 2 \\ - 3 & 7 - x \end{array} |$ .

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Schritt 4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$0 + 0 + (3 - x) ((4 - x) (7 - x) - (- 3 \cdot - 2))$

Schritt 4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Multipliziere $(4 - x) (7 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$0 + 0 + (3 - x) (4 (7 - x) - x (7 - x) - (- 3 \cdot - 2))$

Schritt 4.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$0 + 0 + (3 - x) (4 \cdot 7 + 4 (- x) - x (7 - x) - (- 3 \cdot - 2))$

Schritt 4.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$0 + 0 + (3 - x) (4 \cdot 7 + 4 (- x) - x \cdot 7 - x (- x) - (- 3 \cdot - 2))$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.2.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $7$ .

$0 + 0 + (3 - x) (28 + 4 (- x) - x \cdot 7 - x (- x) - (- 3 \cdot - 2))$

Schritt 4.2.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$0 + 0 + (3 - x) (28 - 4 x - x \cdot 7 - x (- x) - (- 3 \cdot - 2))$

Schritt 4.2.1.2.1.3

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$0 + 0 + (3 - x) (28 - 4 x - 7 x - x (- x) - (- 3 \cdot - 2))$

Schritt 4.2.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$0 + 0 + (3 - x) (28 - 4 x - 7 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x - (- 3 \cdot - 2))$

Schritt 4.2.1.2.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.1.2.1.5.1

Bewege $x$ .

$0 + 0 + (3 - x) (28 - 4 x - 7 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - (- 3 \cdot - 2))$

Schritt 4.2.1.2.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$0 + 0 + (3 - x) (28 - 4 x - 7 x - 1 \cdot - 1 x^{2} - (- 3 \cdot - 2))$

Schritt 4.2.1.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$0 + 0 + (3 - x) (28 - 4 x - 7 x + 1 x^{2} - (- 3 \cdot - 2))$

Schritt 4.2.1.2.1.7

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$0 + 0 + (3 - x) (28 - 4 x - 7 x + x^{2} - (- 3 \cdot - 2))$

Schritt 4.2.1.2.2

Subtrahiere $7 x$ von $- 4 x$ .

$0 + 0 + (3 - x) (28 - 11 x + x^{2} - (- 3 \cdot - 2))$

Schritt 4.2.1.3

Multipliziere $- (- 3 \cdot - 2)$ .

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Schritt 4.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 2$ .

$0 + 0 + (3 - x) (28 - 11 x + x^{2} - 1 \cdot 6)$

Schritt 4.2.1.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$0 + 0 + (3 - x) (28 - 11 x + x^{2} - 6)$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $6$ von $28$ .

$0 + 0 + (3 - x) (- 11 x + x^{2} + 22)$

Schritt 5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $0 + 0 + (3 - x) (- 11 x + x^{2} + 22)$ .

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Schritt 5.1.1

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + (3 - x) (- 11 x + x^{2} + 22)$

Schritt 5.1.2

Addiere $0$ und $(3 - x) (- 11 x + x^{2} + 22)$ .

$(3 - x) (- 11 x + x^{2} + 22)$

Schritt 5.2

Multipliziere $(3 - x) (- 11 x + x^{2} + 22)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$3 (- 11 x) + 3 x^{2} + 3 \cdot 22 - x (- 11 x) - x \cdot x^{2} - x \cdot 22$

Schritt 5.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1

Mutltipliziere $- 11$ mit $3$ .

$- 33 x + 3 x^{2} + 3 \cdot 22 - x (- 11 x) - x \cdot x^{2} - x \cdot 22$

Schritt 5.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $22$ .

$- 33 x + 3 x^{2} + 66 - x (- 11 x) - x \cdot x^{2} - x \cdot 22$

Schritt 5.3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 33 x + 3 x^{2} + 66 - 1 \cdot - 11 x \cdot x - x \cdot x^{2} - x \cdot 22$

Schritt 5.3.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.4.1

Bewege $x$ .

$- 33 x + 3 x^{2} + 66 - 1 \cdot - 11 (x \cdot x) - x \cdot x^{2} - x \cdot 22$

Schritt 5.3.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- 33 x + 3 x^{2} + 66 - 1 \cdot - 11 x^{2} - x \cdot x^{2} - x \cdot 22$

Schritt 5.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 11$ .

$- 33 x + 3 x^{2} + 66 + 11 x^{2} - x \cdot x^{2} - x \cdot 22$

Schritt 5.3.6

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.6.1

Bewege $x^{2}$ .

$- 33 x + 3 x^{2} + 66 + 11 x^{2} - (x^{2} x) - x \cdot 22$

Schritt 5.3.6.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 5.3.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 33 x + 3 x^{2} + 66 + 11 x^{2} - (x^{2} x^{1}) - x \cdot 22$

Schritt 5.3.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 33 x + 3 x^{2} + 66 + 11 x^{2} - x^{2 + 1} - x \cdot 22$

Schritt 5.3.6.3

Addiere $2$ und $1$ .

$- 33 x + 3 x^{2} + 66 + 11 x^{2} - x^{3} - x \cdot 22$

Schritt 5.3.7

Mutltipliziere $22$ mit $- 1$ .

$- 33 x + 3 x^{2} + 66 + 11 x^{2} - x^{3} - 22 x$

Schritt 5.4

Subtrahiere $22 x$ von $- 33 x$ .

$3 x^{2} + 66 + 11 x^{2} - x^{3} - 55 x$

Schritt 5.5

Addiere $3 x^{2}$ und $11 x^{2}$ .

$14 x^{2} + 66 - x^{3} - 55 x$